미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차함수 극한 조건

문제

최고차항의 계수가 11인 이차함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→af(x)−(x−a)f(x)+(x−a)=35\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{f ( x ) - ( x - a )}{f ( x ) + ( x - a )}} = \frac{3}{5} 을 만족시킨다. 방정식 f(x)=0f ( x ) = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, ∣α−β∣\left| \alpha - \beta \right|의 값은? (단, aa는 상수이다.) [4점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 이차방정식의 두 근의 차를 구할 수 있는가? lim⁡x→af(x)≠0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {f ( x ) \neq 0}이면 lim⁡x→af(x)−(x−a)f(x)+(x−a)=1≠35\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{f ( x ) - ( x - a )}{f ( x ) + ( x - a )}} = 1 \neq \frac{3}{5}이므로 lim⁡x→af(x)=f(a)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {f ( x ) = f ( a ) = 0} 따라서, a=αa = \alpha라 하면 f(x)=(x−α)(x−β)f ( x ) = ( x - \alpha ) ( x - \beta )이므로 lim⁡x→af(x)−(x−a)f(x)+(x−a)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{f ( x ) - ( x - a )}{f ( x ) + ( x - a )}} =lim⁡x−α(x−α)(x−β)−(x−α)(x−α)(x−β)+(x−α)\displaystyle = \lim\limits _{x - \alpha} {\frac{( x - \alpha ) ( x - \beta ) - ( x - \alpha )}{( x - \alpha ) ( x - \beta ) + ( x - \alpha )}} =lim⁡x→α(x−β)−1(x−β)+1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {\frac{( x - \beta ) - 1}{( x - \beta ) + 1}} =α−β−1α−β+1=35\displaystyle = \frac{\alpha - \beta - 1}{\alpha - \beta + 1} = \frac{3}{5} 즉, 5(α−β)−5=3(α−β)+35 ( \alpha - \beta ) - 5 = 3 ( \alpha - \beta ) + 3 2(α−β)=82 ( \alpha - \beta ) = 8이므로 ∣α−β∣=4\left| \alpha - \beta \right| = 4

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