이차함수 최솟값 조건

[출제의도] 이차함수의 성질 추론하기 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = 4 ax - 10$의 교점의 $x$좌표가 $1$, $5$이므로 이차방정식 $f ( x ) = 4 ax - 10$의 두 실근은 $1$, $5$이다. $f ( x )$의 이차항의 계수가 $a$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $f ( x ) - 4 ax + 10 = a ( x ^{2} - 6 x + 5 )$ 로 둘 수 있다. 따라서 $\begin{aligned} f ( x ) & = ax ^{2} - 6 ax + 5 a + 4 ax - 10 \end{aligned}$ $= ax ^{2} - 2 ax + 5 a - 10$ $= a \left( x - 1 \right) ^{2} + 4 a - 10$ 이다. 한편, $a > 0$이고 $1 \leq x \leq 5$에서 $f ( x )$의 최솟값이 $- 8$이므로 $f ( 1 ) = - 8$이다. $f ( 1 ) = 4 a - 10 = - 8$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $100 a = 50$이다.