이차함수 최댓값 조건

[출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이해하여 이차함수의 최댓값을 구한다. $f \left( x \right)$$= x ^{2} + ax + b$$\displaystyle = \left( x + \frac{a}{2} \right) ^{2} - \frac{a ^{2}}{4} + b$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle - \frac{a}{2} = 2$에서 $a = \mathit{-} 4$이다.

이때 $0 \leq x \leq 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( 0 \right)$이므로 $f \left( 0 \right) = 8$, 즉 $b = 8$이다. 따라서 $a + b = \left( - 4 \right) + 8 = 4$ [다른 풀이] 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이므로 $f \left( x \right)$$= \left( x - 2 \right) ^{2} + k$$= x ^{2} - 4 x + 4 + k$ ($k$는 상수) 라 할 수 있다. 따라서 $a = \mathit{-} 4$이다. 이때 $0 \leq x \leq 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( 0 \right)$이므로 $f \left( 0 \right) = 4 + k = 8$ 즉 $b = 8$이다. 따라서 $a + b = \left( - 4 \right) + 8 = 4$