공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차함수 최댓값 보기

문제

모든 실수에서 정의된 이차함수 f(x)=a(x−1)2+bf ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} + b가 최댓값 3a3 a를 가질 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점]

＜보　기＞
ㄱ. a<0a < 0 ㄴ. b=3ab = 3 a ㄷ. y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 직선 x=1x = 1에 대하여 대칭이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. 이차함수가 최댓값을 가지므로 위로 볼록한 그래프이고, 따라서 이차항의 계수 aa는 음수이다. (참) ㄴ. y=a(x−1)2+by = a ( x - 1 ) ^{2} + b 이차함수의 최댓값은 x=1x = 1일 때 bb이다. 최댓값이 3a3 a라고 하였으므로 b=3ab = 3 a이다. ∴b=3a\therefore b = 3 a (참) ㄷ. y=a(x−1)2+by = a ( x - 1 ) ^{2} + b의 그래프는 대칭축인 직선 x=1x = 1에 대하여 대칭이다. (참)

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