이차곡선 접선 기울기

[출제의도] 이차곡선위의 점에서 그을 수 있는 접선의 기울기에 대해 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 포물선 $x ^{2} = 4 py ( p \ne 0 )$ 위의 점에서 그은 접선의 기울기들의 모임은 실수 전체의 집합이 된다. 즉, $M _{1} = R \cdots$① 마찬가지로, 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 ( x \ne \pm a )$ 위의 점에서 그은 접선의 기울기들의 모임도 실수 전체의 집합이 된다. 즉, $M _{2} = R \cdots$ ② 하지만, 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 ( | x | > a )$ 위의 접선 중 기울기가 $m$인 것은 $\displaystyle y = mx \pm \sqrt{a ^{2} m ^{2} - b ^{2}}$이므로 $a ^{2} m ^{2} - b ^{2} > 0$ 즉, $\displaystyle m > \left| \frac{b}{a} \right|$이어야 한다. 결국, $\displaystyle M _{3} = \left\{ m \left| m > \left| \frac{b}{a} \right| \right\} \cdots \right.$ ③ 이 된다. <보기>를 살펴보면, ㄱ. ③에 의해 $\displaystyle \left| \frac{2 b}{a} \right| \in M _{3}$이므로 참이다. ㄴ. ①, ②에 의해 $M _{1} = M _{2}$이므로 참이다. ㄷ. ②, ③에 의해 $M _{2} \supset M _{3}$이므로 참이다. 따라서, 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ 이다.