이차부등식 정수해

[출제의도] 연립부등식을 활용하여 조건이 참이 되도록 하는 문제를 해결한다. $x ^{2} - x - 6$$= ( x - 3 ) ( x + 2 ) < 0$이므로 조건 $p :$$x ^{2} - x - 6 < 0$의 진리집합 $P$는 $P = \left\{ x | - 2 < x < 3 \right\}$

$x ^{2} + ( 6 - 3 a ) x + 2 a ^{2} - 10 a + 8$ $= x ^{2} + ( 6 - 3 a ) x + 2 ( a - 1 ) ( a - 4 )$ $= ( x - 2 a + 2 ) ( x - a + 4 )$이므로 조건 $q :$$x ^{2} + ( 6 - 3 a ) x + 2 a ^{2} - 10 a + 8 \geq 0$의 진리집합 $Q$는 $a$의 범위에 따라 각각 다음과 같다. ⅰ) $2 a - 2 < a - 4$일 때 즉, $a < - 2$일 때, $Q = \left\{ x | x \leq 2 a - 2 \text{또는} x \geq a - 4 \right\}$ ⅱ) $2 a - 2 = a - 4$일 때 즉, $a = \mathit{-} 2$일 때, $Q = \left\{ x | x \ne - 6 \text{인} \text{모든} \text{실수} \right\}$ ⅲ) $2 a - 2 > a - 4$일 때 즉, $a > \mathit{-} 2$일 때, $Q = \left\{ x | x \leq a - 4 \text{또는} x \geq 2 a - 2 \right\}$ ⅰ), ⅱ)에서 $a \leq - 2$일 때 $P \cap Q = \left\{ x | - 2 < x < 3 \right\}$이므로 두 조건 $p$, $q$를 모두 참이 되도록 하는 정수 $x$는 $- 1$, $0$, $1$, $2$의 $4$개이다. ⅲ)에서 $a > \mathit{-} 2$일 때 두 조건 $p$, $q$를 모두 참이 되도록 하는 정수 $x$가 오직 하나 존재하려면 $1 < 2 a - 2 \leq 2$이거나 $- 1 \leq a - 4 < 0$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{3}{2} < a \leq 2$ 또는 $3 \leq a < 4$이므로 가능한 정수 $a$는 $2$ 또는 $3$이다. 따라서 모든 정수 $a$의 값의 합은 $5$이다.