이차부등식 해 존재 확률

주사위를 두 번 던져서 나오는 전체 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지이다. $ax ^{2} + 2 bx + a - 3 \leq 0$에서 최고차항의 계수가 양수이므로 해가 존재하기 위해서는 이차방정식 $ax ^{2} + 2 bx + a - 3 = 0$의 판별식을 $D$라 할 때 $\displaystyle \frac{D}{4} = b ^{2} - a \left( a - 3 \right) \geq 0$, 즉 $b ^{2} \geq a \left( a - 3 \right)$ 을 만족해야 한다. (ⅰ) $a = 1$, $2$, $3$일 때 $b = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $6$이면 성립하므로 가능한 경우의 수는 $3 \times 6 = 18$가지이다. (ⅱ) $a = 4$일 때 $b ^{2} \geq 4$에서 $b = 2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 $5$가지이다. (ⅲ) $a = 5$일 때 $b ^{2} \geq 10$에서 $b = 4$, $5$, $6$의 $3$가지이다. (ⅳ) $a = 6$일 때 $b ^{2} \geq 18$에서 $b = 5$, $6$의 $2$가지이다. 이상에서 이차부등식 $ax ^{2} + 2 bx + a - 3 \leq 0$의 해가 존재하는 경우의 수는 $18 + 5 + 3 + 2 = 28$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{28}{36} = \frac{7}{9}$