공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

이차부등식 최솟값

문제

모든 실수 xx에 대하여 이차부등식 ax2−(a−1)x+a≥0a x ^{2} - ( a - 1 ) x + a \geq 0 이 성립하도록 하는 aa의 최소값은? [2점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②11③34\displaystyle \frac{3}{4}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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⑤

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해설

모든 실수 x 에 대하여 이차부등식 ax2−(a−1)x+a≥0ax ^{2} - ( a - 1 ) x + a \geq 0이 성립하려면 a>0이고,D≤0a > 0 \text{이고} , D \leq 0이어야 한다. ∴ D=(a−1)2−4a2≤0D = ( a - 1 ) ^{2} - 4 a ^{2} \leq 0 부등식을 풀면 −3a2−2a+1≤0- 3 a ^{2} - 2 a + 1 \leq 0 3a2+2a−1≥03 a ^{2} + 2 a - 1 \geq 0 (3a−1)(a+1)≥0( 3 a - 1 ) ( a + 1 ) \geq 0 ∴ a≤−1a \leq - 1 또는 a≥13\displaystyle a \geq {\frac{1}{3}} 이 때, a>0a > 0이므로 주어진 이차부등식이 성립하도록 하는 aa의 최소값은 13\displaystyle \frac{1}{3}이다.

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