이차부등식 보기

[출제의도] 이차부등식과 이차함수의 그래프의 관계를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다. $x ^{2} - 9 \leq 2 k ( x - a )$ $( x + 3 ) ( x - 3 ) \leq 2 k ( x - a )$ ㄱ. $a = 3$일 때, $( x + 3 ) ( x - 3 ) \leq 2 k ( x - 3 )$ $x > 3$이면 $x + 3 \leq 2 k$, $x \leq 2 k - 3$ $x = 3$은 $k$의 값에 관계없이 해가 된다. $x < 3$이면 $x + 3 \geq 2 k$, $x \geq 2 k - 3$ 따라서 $x \leq 3$이면 부등식의 해가 $x \leq 2 k - 3$이 아니다. (거짓) ㄴ. $a = 5$일 때, $( x + 3 ) ( x - 3 ) \leq 2 k ( x - 5 )$ $x ^{2} - 2 kx + 10 k - 9 \leq 0$이므로 부등식 $x ^{2} - 2 kx + 10 k - 9 \leq 0$의 해가 존재하지 않으려면 이차방정식 $x ^{2} - 2 kx + 10 k - 9 = 0$이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 $x ^{2} - 2 kx + 10 k - 9 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = k ^{2} - 10 k + 9 < 0$ $( k - 1 ) ( k - 9 ) < 0$ $1 < k < 9$ $1 < k < 9$를 만족시키는 정수 $k$는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$이므로 정수 $k$의 개수는 $7$ (참) ㄷ. 부등식 $( x + 3 ) ( x - 3 ) \leq 2 k ( x - a ) \cdots \cdots ( * )$의 해는 함수 $y = ( x + 3 ) ( x - 3 )$의 그래프가 직선 $y = 2 k ( x - a )$보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$의 값의 범위이다. 함수 $y = ( x + 3 ) ( x - 3 )$의 그래프는 두 점 $( - 3 , 0 )$과 $( 3 , 0 )$을 지나는 곡선이고, 함수 $y = 2 k ( x - a )$의 그래프는 점 $( a , 0 )$을 지나고 기울기가 $2 k$인 직선이다. $- 3 \leq a \leq 3$일 때, $k \geq 0$이면 $x = 3$이 부등식 $( * )$을 만족시키고 $k < 0$이면 $x = \mathit{-} 3$이 부등식 $( * )$을 만족시키므로 $k$의 값에 관계없이 부등식 $( * )$을 만족시키는 정수 $x$의 값은 항상 존재한다. (참)

따라서 $\text{ㄱ}$, $\text{ㄴ}$, $\text{ㄷ}$에서 옳은 것은 $\text{ㄴ}$, $\text{ㄷ}$이다.