이차방정식의 근

양수 $a$가 이차방정식 $x ^{2} - 2 ax + 2 a + 3 = 0$의 한 근이므로 $a ^{2} - 2 a ^{2} + 2 a + 3 = 0$ $a ^{2} - 2 a - 3 = 0$ $\left( a + 1 \right) \left( a - 3 \right) = 0$ $a = - 1$ 또는 $a = 3$ $a > 0$이므로 $a = 3$ 이차방정식 $3 x ^{2} + \left( a - 6 \right) x - 1 = 0$에서 $a = 3$이므로 $3 x ^{2} - 3 x - 1 = 0$ 이차방정식의 근의 공식에 의하여 $x$$\displaystyle = \frac{- \left( - 3 \right) \pm \sqrt{\left( - 3 \right) ^{2} - 4 \times 3 \times \left( - 1 \right)}}{2 \times 3}$$\displaystyle = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$ 이때 $\displaystyle \sqrt{9} < \sqrt{21}$, 즉 $\displaystyle 3 < \sqrt{21}$이므로 $\displaystyle \frac{3 + \sqrt{21}}{6} > 0$, $\displaystyle \frac{3 - \sqrt{21}}{6} < 0$ 따라서 이차방정식 $3 x ^{2} - 3 x - 1 = 0$의 두 근 중 양수인 근은 $\displaystyle \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$