i 거듭제곱의 합

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 규칙성 문제 해결하기 $( i + i ^{2} ) + ( i ^{2} + i ^{3} ) + \cdots + ( i ^{18} + i ^{19} )$ $= ( i + i ^{2} + \cdots + i ^{18} ) + ( i ^{2} + i ^{3} + \cdots + i ^{19} )$ $= ( i - 1 ) + ( - 1 - i ) = - 2$ 그러므로 $a = - 2 , b = 0$이다. 따라서 $4 ( a + b ) ^{2} = 16$이다. [다른 풀이] $i + i ^{19} = 0$이므로 $i + \left\{ ( i + i ^{2} ) + ( i ^{2} + i ^{3} ) + \cdots + ( i ^{18} + i ^{19} ) \right\} + i ^{19}$ $= ( i + i ) + ( i ^{2} + i ^{2} ) + \cdots + ( i ^{19} + i ^{19} )$ $= 2 ( i + i ^{2} + i ^{3} + \cdots + i ^{19} )$ $= 2 ( i + i ^{2} + i ^{3} + \cdots + i ^{19} + i ^{20} - i ^{20} )$ $= 2 ( - i ^{20} )$ $= - 2$ 이다. 그러므로 $a = - 2 , b = 0$이다. 따라서 $4 ( a + b ) ^{2} = 16$이다.