공통수학1복소수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

i 거듭제곱의 합

문제

등식 1i−1i2+1i3−1i4+⋯+(−1)n+1in=1−i\displaystyle \frac{1}{i} - \frac{1}{i ^{2}} + \frac{1}{i ^{3}} - \frac{1}{i ^{4}} + \cdots + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{i ^{n}} = 1 - i 가 성립하도록 하는 100100이하의 자연수 nn의 개수를 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

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25

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해설

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기 자연수 kk에 대하여 in={i(n=4k−3일때)−1(n=4k−2일때)−i(n=4k−1일때)1(n=4k일때)\displaystyle i ^{n} = {\begin{cases} i & ( n = 4 k - 3 \text{일} \text{때} ) \\ - 1 & ( n = 4 k - 2 \text{일} \text{때} ) \\ - i & ( n = 4 k - 1 \text{일} \text{때} ) \\ 1 & ( n = 4 k \text{일} \text{때} ) \end{cases}} 이므로 1i−1i2+1i3−1i4+⋯+(−1)n+1in\displaystyle \frac{1}{i} - \frac{1}{i ^{2}} + \frac{1}{i ^{3}} - \frac{1}{i ^{4}} + \cdots + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{i ^{n}} =−i+1+i−1+⋯+(−1)n+1in\displaystyle = - i + 1 + i - 1 + \cdots + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{i ^{n}} ={−i(n=4k−3일때)1−i(n=4k−2일때)1(n=4k−1일때)0(n=4k일때)\displaystyle = {\begin{cases} - i & ( n = 4 k - 3 \text{일} \text{때} ) \\ 1 - i & ( n = 4 k - 2 \text{일} \text{때} ) \\ 1 & ( n = 4 k - 1 \text{일} \text{때} ) \\ 0 & ( n = 4 k \text{일} \text{때} ) \end{cases}} 따라서 주어진 등식을 만족하는 nn의 값은 자연수 kk에 대하여 n=4k−2n = 4 k - 2일 때이다. 0<4k−2≤1000 < 4 k - 2 \leq 100 24<k≤1024\displaystyle \frac{2}{4} < k \leq \frac{102}{4}이므로 식을 만족하는 자연수 kk는 1,2,3,⋯ ,251 , 2 , 3 , \cdots , 25 이다. ∴\therefore2525개

태그

#i의 거듭제곱#규칙

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