공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

i 거듭제곱 집합

문제

집합 A={x∣x=in−1in,n은자연수}\displaystyle A = \left\{ x \left| x = i ^{n} - \frac{1}{i ^{n}} , n \text{은} \text{자연수} \right\} \right.의 원소의 개수는? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이다.) [4점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 복소수의 연산을 한다. i2=−1i ^{2} = - 1, i3=−ii ^{3} = - i, i4=1i ^{4} = 1이므로 n=1n = 1일 때 i−1i\displaystyle i - \frac{1}{i}=i−ii2\displaystyle = i - \frac{i}{i ^{2}}=i−i−1\displaystyle = i - \frac{i}{- 1}=i+i= i + i=2i= 2 i n=2n = 2일 때 i2−1i2=−1−1−1\displaystyle i ^{2} - \frac{1}{i ^{2}} = - 1 - \frac{1}{- 1}=−1+1= - 1 + 1=0= 0 n=3n = 3일 때 i3−1i3=−i−ii4\displaystyle i ^{3} - \frac{1}{i ^{3}} = - i - \frac{i}{i ^{4}}=−i−i= - i - i=−2i= - 2 i n=4n = 4일 때 i4−1i4=1−11\displaystyle i ^{4} - \frac{1}{i ^{4}} = 1 - \frac{1}{1}=1−1= 1 - 1=0= 0 n=5n = 5일 때 i5−1i5=i⋅i4−1i⋅i4\displaystyle i ^{5} - \frac{1}{i ^{5}} = i \cdot i ^{4} - \frac{1}{i \cdot i ^{4}}=i−1i\displaystyle = i - \frac{1}{i}=2i= 2 i ⋮\vdots 그러므로 2i2 i, 00, −2i- 2 i, 00이 차례로 반복되어 나타남을 알 수 있다. 따라서 A={−2i,0,2i}A = \left\{ - 2 i , 0 , 2 i \right\}이므로 집합 AA의 원소의 개수는 33이다.

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#복소수의 거듭제곱

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