현의 주파수 식

[출제의도] 무리식을 정리하여 실생활 문제를 해결한다. $\displaystyle \omega = \frac{1}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$에서 밀도 $\rho$를 다른 세 변수 $L$, $T$, $\omega$에 대한 식으로 나타내면 $\displaystyle \omega ^{2} = \frac{1}{4 L ^{2}} \cdot {\frac{T}{\rho}}$ $\displaystyle \rho = \frac{T}{4 \omega ^{2} L ^{2}}$ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 길이를 모두 $L$이라 하자. $\mathrm{A}$의 장력을 $T _{\mathrm{A}}$, 밀도를 $\rho _{\mathrm{A}}$, 주파수를 $\omega _{\mathrm{A}}$라 하고 $\mathrm{B}$의 장력을 $T _{\mathrm{B}}$, 밀도를 $\rho _{\mathrm{B}}$, 주파수를 $\omega _{\mathrm{B}}$라 하면 $\displaystyle \rho _{\mathrm{A}} = \frac{T _{\mathrm{A}}}{4 \omega _{\mathrm{A}} ^{2} L ^{2}}$, $\displaystyle \rho _{\mathrm{B}} = \frac{T _{\mathrm{B}}}{4 \omega _{\mathrm{B}} ^{2} L ^{2}}$ 이다. $T _{\mathrm{A}} = 3 {T _{\mathrm{B}}}$, $\displaystyle \omega _{\mathrm{A}} = \frac{\omega _{\mathrm{B}}}{2}$이므로 $\displaystyle \rho _{\mathrm{A}} = \frac{T _{\mathrm{A}}}{4 \omega _{\mathrm{A}} ^{2} L ^{2}}$$\displaystyle = \frac{3 T _{\mathrm{B}}}{4 \times \frac{\omega _{\mathrm{B}} ^{2}}{4} \times L ^{2}}$$\displaystyle = \frac{12 T _{\mathrm{B}}}{4 \omega _{\mathrm{B}} ^{2} L ^{2}}$$= 12 \rho _{\mathrm{B}}$ $\mathrm{A}$의 밀도는 $\mathrm{B}$의 밀도의 $12$배 따라서 $n = 12$