현의 길이 극한

[출제의도] 원의 성질을 활용하여 수열의 극한값을 구하는 문제를 해결한다. 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n}$과 원 $x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$의 두 교점을 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$이라 하고 주어진 원의 중심을 $\mathrm{C} ( 0 , 1 )$, 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 중점을 $\mathrm{M} _{\mathit{n}}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{C} M _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$은 직각삼각형이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{C} B _{\mathit{n}}}$$= 1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{C} M _{\mathit{n}}}$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{n}$이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \left( \frac{l _{n}}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{C} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}} ^{{2}} - {\overline{\mathrm{C} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} ^{2}$$\displaystyle = 1 ^{2} - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ^{2}$ $\displaystyle = {\frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}$ $\left( l _{n} \right) ^{2}$$\displaystyle = {\frac{8}{n} - \frac{4}{n ^{2}}}$ $n \left( l _{n} \right) ^{2}$$\displaystyle = {8 - \frac{4}{n}}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left( l _{n} \right) ^{2}}$$= 8$