현수선 보기

[출제의도] 초월함수의 오목 볼록성, 역함수의 미분법, 평균값의 정리의 내용을 알고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $f ( x )$가 위로 오목(아래로 볼록)하므로 참이다. ㄴ. $f ( x )$의 역함수가 $g ( x )$이므로 $g ( f ( x ) ) = x$에서 $g' ( f ( x ) ) f' ( x ) = 1$이다. 한편 $\displaystyle f ( x ) = \frac{e ^{x} + e ^{-x}}{2} = \frac{e ^{2} - e ^{-2}}{2}$ 를 만족하는 $x = 2$된다. $f ( x )$의 도함수 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{e ^{x} - e ^{-x}}{2}$이므로 된다. $f ( x )$의 도함수는 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{e ^{x} - e ^{-x}}{2}$ 이므로 $\displaystyle g' \left( \frac{e ^{2} + e ^{-2}}{2} \right) = \frac{1}{f' ( 2 )} = \frac{2}{e ^{2} - e ^{-2}}$ 가 되어 거짓이다. ㄷ. $t$초 후의 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $\displaystyle \left( k , \frac{e ^{k} + e ^{-k}}{2} \right)$이라 하자. 한편, $t$초 동안 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $t$이므로 $\displaystyle t = \int _{0} ^{k} \sqrt{1 + \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2}} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{k} \sqrt{1 + \left( \frac{e ^{x} - e ^{-x}}{2} \right) ^{2}} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{k} \frac{e ^{x} + e ^{-x}}{2} dx = \frac{e ^{k} - e ^{-k}}{2}$ $( e ^{k} ) ^{2} - 2 te ^{k} - 1 = 0$에서 $\displaystyle e ^{k} = t + \sqrt{t ^{2} + 1}$ $\displaystyle \therefore k = \ln ( t + \sqrt{t ^{2} + 1} )$ (참)