대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

휘발유 소비량 등비수열

문제

어느 연구소의 보고서에 따르면 앞으로 LPG 경차 사용이 늘어나 자동차 휘발유 소비량이 감소할 것이라고 한다. 20072007년 A\mathrm{A}지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 aa톤이고, 매년 이 지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 전년도에 비하여 일정한 비율로 감소하여 20152015년에는 13a\displaystyle \frac{1}{3} a톤이 된다고 한다. 20152015년 이후에도 이와 같은 비율로 계속 감소한다고 할 때, A\mathrm{A}지역에서 20072007년부터 20222022년까지 1616년 동안 사용되는 자동차 휘발유 소비량의 총합은? (단, 38=1.15\displaystyle \sqrt[8]{3} = 1.15로 계산한다.) [4점] ①14527a\displaystyle \frac{145}{27} a톤②15427a\displaystyle \frac{154}{27} a톤③16427a\displaystyle \frac{164}{27} a톤④17527a\displaystyle \frac{175}{27} a톤⑤18427a\displaystyle \frac{184}{27} a톤

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열의 합을 이해하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. A\mathrm{A}지역의 연간 휘발유 소비량이 전년도의 rr배로 감소한다고 하면 20072007년의 휘발유 소비량은 aa톤, 20082008년의 휘발유 소비량은 arar톤, ⋯ ,\cdots , 20152015년의 휘발유 소비량은 ar8ar ^{8}톤으로 놓을 수 있다. 이때 20152015년의 휘발유 소비량은 13a\displaystyle \frac{1}{3} a톤이므로 ar8ar ^{8}==13a\displaystyle \frac{1}{3} a,r8=13\displaystyle r ^{8} = \frac{1}{3} ∴ r=138=138=11.15=2023\displaystyle r = \sqrt[8]{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[8]{3}} = \frac{1}{1.15} = \frac{20}{23} 따라서 1616년 동안 사용되는 휘발유 전체의 양은 a+ar+ar2+⋯+ar15a + ar + ar ^{2} + \cdots + ar ^{15} =a(1−r16)1−r\displaystyle = \frac{a ( 1 - r ^{16} )}{1 - r}=a(1−19)1−2023=18427a\displaystyle = \frac{a \left( {1 - \frac{1}{9}} \right)}{1 - \frac{20}{23}} = \frac{184}{27} a(톤)

태그

#등비수열의 합#활용

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