확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

화석 판별과 정규분포

문제

어느 뼈 화석이 두 동물 AA와 BB 중에서 어느 동물의 것인지 판단하는 방법 가운데 한 가지는 특정 부위의 길이를 이용하는 것이다. 동물 AA의 이 부위의 길이는 정규분포 N(10,0.42)\mathrm{N} \left( 10 , 0.4 ^{2} \right)을 따르고, 동물 BB의 이 부위의 길이는 정규분포 N(12,0.62)\mathrm{N} \left( 12 , 0.6 ^{2} \right)을 따른다. 이 부위의 길이가 dd 미만이면 동물 AA의 화석으로 판단하고, dd 이상이면 동물 BB의 화석으로 판단한다. 동물 AA의 화석을 동물 AA의 화석으로 판단할 확률과 동물 BB의 화석을 동물 BB의 화석으로 판단할 확률이 같아지는 dd의 값은? (단, 길이의 단위는 cm\mathrm{cm}이다.) [4점] ①10.410.4②10.510.5③10.610.6④10.710.7⑤10.810.8

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⑤

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해설

동물 A\mathrm{A}의 이 부위의 길이를 확률변수 XX, 동물 B\mathrm{B}의 이 부위의 길이를 확률변수 YY라 하자. 동물 A\mathrm{A}의 화석을 동물 A\mathrm{A}의 화석으로 판단할 확률은 P(X<d)=P(Z<d−100.4)⋯⋯㉠\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} < d ) = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} < \frac{d - 10}{0.4} \right) \cdots \cdots \text{㉠} 동물 B\mathrm{B}의 화석을 동물 B\mathrm{B}의 화석으로 판단할 확률은 P(Y≥d)=P(Z≥d−120.6)⋯⋯㉡\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{Y} \geq d ) = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{d - 12}{0.6} \right) \cdots \cdots \text{㉡} ㉠, ㉡이 같아야 하므로 d−100.4+d−120.6=0\displaystyle \frac{d - 10}{0.4} + \frac{d - 12}{0.6} = 0 d−100.4=−d−120.6\displaystyle \frac{d - 10}{0.4} = - \frac{d - 12}{0.6}, 0.6d−6=−0.4d+4.80.6 d - 6 = - 0.4 d + 4.8 ∴ d=10.8d = 10.8

태그

#정규분포#표준화

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