공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

황금분할에서 선분 전체 길이 구하기

문제

길이가 aa인 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}가 AB‾:AP‾=AP‾:PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} 를 만족시킨다. AP‾−PB‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{PB}} = 2일 때, aa의 값은? [4점] ①2+25\displaystyle 2 + 2 \sqrt{5}②4+5\displaystyle 4 + \sqrt{5}③4+25\displaystyle 4 + 2 \sqrt{5}④6+25\displaystyle 6 + 2 \sqrt{5}⑤2+45\displaystyle 2 + 4 \sqrt{5}

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③

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해설

AP‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = x라 하면 PB‾=x−2\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = x - 2, AB‾=2x−2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 x - 2이고 PB‾>0\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} > 0에서 x>2x > 2 AB‾:AP‾=AP‾:PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}}에서 AP‾2=AB‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} = \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{PB}} x2=(2x−2)(x−2)x ^{2} = ( 2 x - 2 ) ( x - 2 ) x2=2x2−6x+4x ^{2} = 2 x ^{2} - 6 x + 4 x2−6x+4=0x ^{2} - 6 x + 4 = 0 x=3±5\displaystyle x = 3 \pm \sqrt{5} x>2x > 2이므로 x=3+5\displaystyle x = 3 + \sqrt{5} 따라서 a=2x−2=4+25\displaystyle a = 2 x - 2 = 4 + 2 \sqrt{5} 답 ③

태그

#황금비#황금분할#이차방정식의 활용#근의 조건

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