확률밀도함수 평균

[출제의도]확률밀도함수의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx = 1$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} ( ax + b ) dx = \left[ \frac{a}{2} x ^{2} + bx \right] _{0} ^{1} = \frac{a}{2} + b = 1$ ∴ $a + 2 b = 2$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle E ( X ) = \int _{0} ^{1} x f ( x ) dx = \frac{7}{12}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} ( ax ^{2} + bx ) dx = \left[ \frac{a}{3} x ^{3} + \frac{b}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{7}{12}$ ∴ $4 a + 6 b = 7$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠,㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle a = 1 , b = \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle 80 ab = 80 \times 1 \times \frac{1}{2} = 40$