확률밀도함수 구간 확률

확률 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( a \leq X \leq a + \frac{1}{2} \right)}$의 값이 최대가 되려면 구간 $\displaystyle a \leq x \leq a + \frac{1}{2}$ 안에 1이 포함되어있어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{2} < a < 1$인 경우를 생각한다. $\displaystyle \frac{1}{2} < a < 1$일 때 $\displaystyle 1 < a + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( a \leq X \leq a + \frac{1}{2} \right)} = \left( \frac{1}{2} - \frac{a ^{2}}{2} \right) + \frac{1}{2} - \left( \frac{3 - 2 a}{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle = - a ^{2} + \frac{3}{2} a - \frac{1}{8}$$\displaystyle = - \left( a - \frac{3}{4} \right) ^{2} + \frac{7}{16}$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{3}{4}$일 때 확률 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( a \leq X \leq a + \frac{1}{2} \right)}$의 값이 최대이다