확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

확률밀도함수 그래프의 확률

문제

구간 $[ 0 , 3 ]$ 의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 $X$ 에 대하여 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 2 ) = \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 상수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프와 $x$ 축 및 두 직선 $x = 0$ , $x = 3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 $\displaystyle 3 k + \frac{1}{2} \times 3 \times ( 3 k - k ) = 1$ $\displaystyle \begin{aligned} 3 k + 3 k = 1 \\ \therefore k = \frac{1}{6} \end{aligned}$

$\displaystyle \therefore P ( 0 \leq X \leq 2 ) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{6} + \frac{1}{2} ) \times 2 = \frac{2}{3}$ $\therefore p + q = 3 + 2 = 5$

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