확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

확률밀도함수 최대

문제

연속확률변수 XX가 갖는 값의 범위가 0≤X≤40 \leq X \leq 4이고, XX의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. 1<k<21 < k < 2일 때, P(k≤X≤2k)\mathrm{P} ( \mathit{k} \leq X \leq 2 k )가 최대가 되도록 하는 kk의 값은? [3점]

①75\displaystyle \frac{7}{5}②32\displaystyle \frac{3}{2}③85\displaystyle \frac{8}{5}④1710\displaystyle \frac{17}{10}⑤95\displaystyle \frac{9}{5}

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③

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해설

아래 그림에서

P(k≤X≤2k)=1−18k2−18(4−2k)2\displaystyle {\mathrm{P}} ( k \leq X \leq 2 k ) = 1 - \frac{1}{8} k ^{2} - \frac{1}{8} ( 4 - 2 k ) ^{2} =−58k2+2k−1\displaystyle = - \frac{5}{8} k ^{2} + 2 k - 1=−58(k−85)2+35\displaystyle = - \frac{5}{8} \left( k - \frac{8}{5} \right) ^{2} + \frac{3}{5} 따라서 k=85\displaystyle k = \frac{8}{5}일 때 최댓값 35\displaystyle \frac{3}{5}를 갖는다.

태그

#연속확률분포#이차함수 최대

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