확률밀도함수

주어진 구간에서 함수 $f ( x )$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이 때, $f ( x )$는 확률밀도함수이므로 함수 $f ( x )$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 되어야 한다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 2 k = 1$ ∴ $\displaystyle k = \frac{1}{4}$ 따라서, 주어진 확률밀도함수 $f ( x )$는 다음과 같다. $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \frac{1}{4} ( 2 + x ) ( - 2 \leq x < 0 ) \\ \frac{1}{4} ( 2 - x ) ( 0 \leq x < 2 ) \\ 0 ( x \leftarrow 2 \text{또는} x \geq 2 ) \end{cases}$ 이 때, P$\displaystyle \left( - 1 \leq X < \frac{1}{2} \right)$는 구간 $\displaystyle \left[ - 1 , \frac{1}{2} \right)$에서의 함수 $f ( x )$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 위의 그림에서 P$\displaystyle \left( - 1 \leq X < \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) \times 1 + \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \right) \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = \frac{3}{8} + \frac{7}{32}$$\displaystyle = \frac{19}{32}$ 따라서, $p = 32$, $q = 19$이므로 $p + q = 51$이다.