확률밀도함수

[출제의도] 연속확률변수의 확률밀도함수의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가? $\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq X \leq a ) = 1$이므로 확률변수 $X$의 확률밀도함수의 그래프로부터 $\displaystyle \frac{1}{2} ac = 1$, 즉 $ac = 2$ 한편, $\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq X \leq a ) = \mathrm{P} \mathit{(} X \leq b ) + \mathrm{P} \mathit{(} X \geq b ) = 1$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \leq b ) - \mathrm{P} \mathit{(} X \geq b ) = \frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \leq b ) = \frac{5}{8}$이고 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \geq b ) = \frac{3}{8}$이다. 따라서 확률변수 $X$의 확률밀도함수의 그래프로부터 $\displaystyle \frac{1}{2} \times b \times c = \frac{5}{8}$ 이다. 한편, $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \leq b ) > \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle 0 < \sqrt{5} < b$이다. 이때 두 점 $( 0 , 0 )$, $( b , c )$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{c}{b} x$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \leq \sqrt{5} ) = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \left( \frac{c}{b} \times \sqrt{5} \right)$$\displaystyle = \frac{5 c}{2 b}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ 즉, $b = 5 c$이다. 이때 $\displaystyle bc = 5 c ^{2} = \frac{5}{4}$이므로 $\displaystyle c = \frac{1}{2}$ $( \because c > 0 )$ 따라서 $\displaystyle b = \frac{5}{2}$, $a = 4$이므로 $a + b + c$$\displaystyle = 4 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$$= 7$