확률분포와 기댓값

$\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = k + 2 \right) - {\mathrm{P}} \left( X = k \right) = \frac{\left( - 1 \right) ^{k}}{4}$에서 $k = 1$일 때, $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 3 \right) - {\mathrm{P}} \left( X = 1 \right) = - \frac{1}{4}$ $k = 2$일 때, $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) - {\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) = \frac{1}{4}$ ${\mathrm{P}} \left( X = 1 \right) = a$, ${\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) = b$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 3 \right) = a - \frac{1}{4}$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) = b + \frac{1}{4}$ 이산확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

이산확률변수의 확률분포의 성질에 의하여 확률의 합이 $1$이므로 $\displaystyle a + b + \left( a - \frac{1}{4} \right) + \left( b + \frac{1}{4} \right) = 1$ $\displaystyle a + b = \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ${\mathrm{E}} \left( X \right)$$\displaystyle = 1 \times a + 2 \times b + 3 \times \left( a - \frac{1}{4} \right) + 4 \times \left( b + \frac{1}{4} \right)$ $\displaystyle = 4 a + 6 b + \frac{1}{4} = \frac{21}{8}$ $\displaystyle 4 a + 6 b = \frac{19}{8}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle a = \frac{5}{16}$, $\displaystyle b = \frac{3}{16}$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 1 \right) = \frac{5}{16}$