확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

확률분포표 분산

문제

이산확률변수 $X$ 의 확률분포표는 다음과 같다.

X	0	1	2	3	계
P( X = x )	p	$\displaystyle \frac{1}{4}$	q	$\displaystyle \frac{1}{12}$	1

$X$ 의 분산이 $1$ 이 되는 $p$ 와 $q$ 에 대하여 $3 p + q$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $\displaystyle \frac{3}{4}$ ③ $1$ ④ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ⑤ $2$

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④

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해설

모든 확률의 합이 $1$ 이므로 $\displaystyle p + \frac{1}{4} + q + \frac{1}{12} = 1$ $\therefore$ $\displaystyle p + q = \frac{2}{3}$ $\displaystyle E ( X ) = \frac{1}{4} + 2 q + \frac{1}{4} = 2 q + \frac{1}{2}$ $\displaystyle V ( X ) = \frac{1}{4} + 4 q + \frac{3}{4} - ( 2 q + \frac{1}{2} ) ^{2} = 1$ $\displaystyle 4 q - ( 2 q + \frac{1}{2} ) ^{2} = 0$ $16 q ^{2} - 8 q + 1 = ( 4 q - 1 ) ^{2} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle q = \frac{1}{4} , p = \frac{5}{12}$ $\therefore$ $\displaystyle 3 p + q = 3 \times \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$

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