확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

확률분포 관계 기댓값

문제

두 이산확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 가지는 값이 각각 $1$ 부터 $5$ 까지의 자연수이고 $\displaystyle P ( Y = k ) = \frac{1}{2} P ( X = k ) + \frac{1}{10} ( k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )$ 이다. $E ( X ) = 4$ 일 때, $E ( Y ) = a$ 이다. $8 a$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

${\mathrm{P}} ( X = k ) = p _{k} ( k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )$ 라 하면 두 이산확률변수 $X$ 와 $Y$ 의 확률분포표는 다음과 같다.

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	합
${\mathrm{P}} ( X = k )$	$p _{1}$	$p _{2}$	$p _{3}$	$p _{4}$	$p _{5}$	$1$

$Y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	합
${\mathrm{P}} ( Y = k )$	$\displaystyle \frac{1}{2} p _{1} + \frac{1}{10}$	$\displaystyle \frac{1}{2} p _{2} + \frac{1}{10}$	$\displaystyle \frac{1}{2} p _{3} + \frac{1}{10}$	$\displaystyle \frac{1}{2} p _{4} + \frac{1}{10}$	$\displaystyle \frac{1}{2} p _{5} + \frac{1}{10}$	$1$

${\mathrm{E}} ( X ) = p _{1} + 2 p _{2} + 3 p _{3} + 4 p _{4} + 5 p _{5} = 4$ $\displaystyle {\mathrm{E}} ( Y ) = \left( \frac{1}{2} p _{1} + \frac{1}{10} \right) + 2 \left( \frac{1}{2} p _{2} + \frac{1}{10} \right) + \cdots + 5 \left( \frac{1}{2} p _{5} + \frac{1}{10} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( p _{1} + 2 p _{2} + 3 p _{3} + 4 p _{4} + 5 p _{5} \right) + \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{10}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{3}{2}$ $\displaystyle = \frac{7}{2}$ 따라서 $\displaystyle a = {\mathrm{E}} ( Y ) = \frac{7}{2}$ 이므로 구하는 값은 $8 a = 28$ 이다.

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