확률분포 기댓값

[출제의도] 확률분포를 이해하여 기댓값을 구하는 문제를 해결한다. 확률의 합이 $1$이므로 $\displaystyle \frac{1}{k} \left( \mathrm{_{4}} \mathrm{C} _{1} + _{4} \mathrm{C} _{2} + _{4} \mathrm{C} _{3} + _{4} \mathrm{C} _{4} \right) = 1$ 이항정리에 의해 $k = \mathrm{_{4}} \mathrm{C} _{1} + _{4} \mathrm{C} _{2} + _{4} \mathrm{C} _{3} + _{4} \mathrm{C} _{4} = 2 ^{4} - 1 = 15$ $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{15} \left( \mathrm{2} \times _{4} \mathrm{C} _{1} + 2 ^{2} \times _{4} \mathrm{C} _{2} + 2 ^{3} \times _{4} \mathrm{C} _{3} + 2 ^{4} \times _{4} \mathrm{C} _{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{15} \left( 3 ^{4} - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{15} \times 80$$\displaystyle = \frac{16}{3}$ $\mathrm{E} \left( \mathit{3} X + 1 \right)$$\mathrm{=} 3 E \left( \mathit{X} \right) + 1$ $\mathrm{=} 16 + 1$$= 17$