확률 점화식 빈칸

상자 안에 1부터 5까지의 숫자가 하나씩 적혀 있는 다섯 장의 카드가 있다. 이 중에서 한 장을 임의추출하여 나온 수를 확인한 후 다시 상자에 넣는 시행을 $n$회 반복한다. $n$회까지 나온 수의 합을 $S _{n}$이라 하고, $S _{n}$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 될 확률을 $p _{n}$이라 할 때, 다음은 $p _{3}$을 구하는 과정이다. 1부터 5까지의 수 중에서 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 되는 수는 1 또는 4이므로 $p _{1} = {\square {( \text{가} )}}$ 이다. 그리고 세 집합 $R _{0} , R _{1} , R _{2}$를 각각 $R _{0} = \left\{ 3 \right\} , R _{1} = \left\{ 1 , 4 \right\} , R _{2} = \left\{ 2 , 5 \right\}$ 라 하면 $S _{n + 1}$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 되는 경우는 다음 두 가지가 있다

첫 번째, $S _{n}$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우는 $n + 1$번째 시행에서 집합 $R _{0}$의 원소를 선택하면 된다.

두 번째, $S _{n}$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 아닌 경우는 $n + 1$번째 시행에서 $S _{n + 1}$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 되게 하는 집합의 원소 중 하나를 선택하면 된다.

이것을 정리하면 $p _{n + 1}$과 $p _{n}$은 다음과 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다. $\displaystyle p _{n + 1} = \frac{1}{5} p _{n} + {\square {( \text{나} )}} \times ( 1 - p _{n} )$ 그러므로 구하는 확률 $p _{3}$은 $p _{3} = {\square {( \text{다} )}}$ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a , b , c$라 할 때, $\displaystyle \frac{10 c}{ab}$의 값은? [4점]

①20②21③22④23⑤24