대수수열의 합AI기본 문제 (3점 중반)

홀수 수열의 합 참·거짓

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항이 an=2n−1a _{n} = 2 n - 1이고 Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. Sn=n2S _{n} = n ^{2} ㄴ. ∑k=1na2k=2n2+n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{2 k} = 2 n ^{2} + n ㄷ. ∑k=1nak2=n4\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} ^{2} = n ^{4}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. Sn=∑k=1n(2k−1)=2⋅n(n+1)2−n=n2\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 k - 1 ) = 2 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} - n = n ^{2} (참) ㄴ. a2k=4k−1a _{2 k} = 4 k - 1이므로 ∑k=1na2k=∑k=1n(4k−1)=4⋅n(n+1)2−n=2n2+n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{2 k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 4 k - 1 ) = 4 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} - n = 2 n ^{2} + n (참) ㄷ. (반례) n=2n = 2이면 ∑k=12ak2=12+32=10\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2} a _{k} ^{2} = 1 ^{2} + 3 ^{2} = 10이지만 n4=16n ^{4} = 16 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이므로 답은 ③이다.

태그

#참·거짓 판정#합의 기호#홀수의 합

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