공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

홀수 삼각형 배열의 행의 합

문제

다음과 같이 홀수를 규칙에 따라 나열한다. 11 353 5 79117 9 11 1315171913 15 17 19 ⋮ 제nn행에 있는 모든 수의 합이 13311331일 때, 제nn행의 마지막 수를 구하시오. [4점]

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131

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해설

제11행부터 제(n−1)( n - 1 )행까지 나열된 홀수의 개수는 n(n−1)2\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2}이므로 제nn행의 첫 번째 수는 2×n(n−1)2+1=n2−n+1\displaystyle 2 \times \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1 = n ^{2} - n + 1 제nn행에는 nn개의 홀수가 22씩 커지며 나열되므로 마지막 수는 n2−n+1+2(n−1)=n2+n−1n ^{2} - n + 1 + 2 ( n - 1 ) = n ^{2} + n - 1 제nn행에 있는 모든 수의 합은 n(n2−n+1+n2+n−1)2=n3\displaystyle \frac{n \left( n ^{2} - n + 1 + n ^{2} + n - 1 \right)}{2} = n ^{3} n3=1331=113n ^{3} = 1331 = 11 ^{3}에서 n=11n = 11 따라서 제1111행의 마지막 수는 112+11−1=13111 ^{2} + 11 - 1 = 131

태그

#수 배열#규칙 추론#홀수 배열#행의 합

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