공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

홀수 제곱합 나머지 증명

문제

다음은 자연수에 대한 어떤 성질을 증명한 것이다. [증명] a,b,ca , b , c 가 홀수일 때, a=2p−1,b=2q−1,c=2r−1a = 2 p - 1 , b = 2 q - 1 , c = 2 r - 1(단, p,q,rp , q , r는 자연수) 로 놓으면 a2+b2+c2=4{p(p−1)+q(q−1)+r(r−1)}+a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 4 \left\{ p ( p - 1 ) + q ( q - 1 ) + r ( r - 1 ) \right\} + (가) 이다. 이 때, p(p−1)+q(q−1)+r(r−1)p ( p - 1 ) + q ( q - 1 ) + r ( r - 1 )은 (나) 의 배수이다. 따라서, a2+b2+c2a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}을 (다) (으)로 나눈 나머지는 (가) 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①1 2 6②1 2 8③2 4 6④3 2 8⑤3 4 6

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해설

[출제 의도] 자연수의 성질을 증명할 수 있다. a=2p−1,b=2q−1,c=2r−1a = 2 p - 1 , b = 2 q - 1 , c = 2 r - 1(단, p,q,rp , q , r는 자연수)로 놓으면 a2+b2+c2=4{p(p−1)+q(q−1)+r(r−1)}+a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 4 \left\{ p ( p - 1 ) + q ( q - 1 ) + r ( r - 1 ) \right\} + …(가) 그런데 p(p−1),q(q−1),r(r−1)p ( p - 1 ) , q ( q - 1 ) , r ( r - 1 )은 각각 연속한 두 정수의 곱이므로 2의 배수이다. 따라서 p(p−1)+q(q−1)+r(r−1)p ( p - 1 ) + q ( q - 1 ) + r ( r - 1 )은 의 배수 …(나) p(p−1)+q(q−1)+r(r−1)=2kp ( p - 1 ) + q ( q - 1 ) + r ( r - 1 ) = 2 k(kk는 00 또는 자연수 )로 놓으면 a2+b2+c2=8k+3a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 8 k + 3 즉, a2+b2+c2a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}을 로 나눈 나머지는 …(다)

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