홀수 개 선택 자연수

(ⅰ) $1$과 $3$을 한 번만 선택할 때 다섯 자리에 $1$과 $3$을 배열하는 경우의 수는 ${}_{5} \mathrm{P} _{2} = 5 \times 4 = 20$ 나머지 세 자리에 $0$, $2$, $4$를 중복을 허락하여 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} \prod _{3} = 3 ^{3} = 27$ 이때 첫 번째 자리에 $0$이 오는 경우는 빼야 하므로 첫 번째 자리를 제외한 네 자리에 $1$과 $3$을 배열하는 경우의 수는 ${}_{4} \mathrm{P} _{2} = 4 \times 3 = 12$ 나머지 두 자리에 $0$, $2$, $4$를 중복을 허락하여 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} \prod _{2} = 3 ^{2} = 9$ 따라서 구하는 경우의 수는 $20 \times 27 - 12 \times 9 = 540 - 108 = 432$ (ⅱ) $1$을 세 번 $3$을 한 번만 선택할 때 다섯 자리에 $1$, $1$, $1$과 $3$을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{5} \mathrm{C} _{4} \times \frac{4 !}{3 !} = 5 \times 4 = 20$ 나머지 한 자리에 $0$, $2$, $4$를 배열하는 경우의 수는 $3$ 이때 첫 번째 자리에 $0$이 오는 경우는 빼야 하므로 첫 번째 자리를 제외한 네 자리에 $1$, $1$, $1$과 $3$의 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} = 4$ 따라서 구하는 경우의 수는 $20 \times 3 - 4 = 56$ (ⅲ) $1$을 한 번 $3$을 세 번 선택할 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구하는 경우의 수는 $56$ 이상에서 구하는 모든 경우의 수는 $432 + 56 + 56 = 544$