홀수 배열표

[출제의도] 수열을 이용하여 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 홀수인 자연수 $1$, $3$, $5$, $7$, $\cdots$ 으로 이루어진 수열을 $\left\{ a _{n} \right\}$이라 하면 $a _{n} = 2 n - 1$ $a _{n} = 2 n - 1 = 101$에서 $n = 51$이므로 $101$은 $51$번째 항이다. 또, 각 행의 항의 수는 $1$, $2$, $3$, $\cdots$ 이므로 제$n$행까지의 모든 항의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$이다. $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2} \leq 51$을 만족하는 자연수 $n$의 최댓값은 $9$이고 제$9$행까지의 항의 개수는 $45$개이다. 따라서 $101$은 제$10$행과 제$6$열이 만나는 위치에 있다. ∴ $p + q = 10 + 6 = 16$ [다른 풀이] 각 행의 제$1$열의 수 $1 , 3 , 7 , 13 , \cdots$ 으로 이루어진 수열을 $\left\{ a _{n} \right\}$이라 하면 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열은 첫째항이 $2$이고 공차가 $2$인 등차수열이므로 $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 2 k = 1 + 2 \times \frac{n ( n - 1 )}{2}$ $= n ^{2} - n + 1$ $n = 10$일 때, $n ^{2} - n + 1 = 91$이므로 제$10$행의 첫 번째 항 $a _{10}$은 $91$이다. 이때, $101 = 91 + 2 \times 5$이므로 $101$은 제$10$행과 제$6$열이 만나는 위치에 있다. ∴ $p + q = 10 + 6 = 16$