홀짝으로 나눈 수열의 합

[출제의도] $\mathrm{\Sigma}$의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다. 자연수 $k$에 대하여 $n$$= 2 k - 1$일 때, $a _{n}$$= a _{2 k - 1}$$\displaystyle = \frac{\left\{ ( 2 k - 1 ) + 1 \right\} ^{2}}{2}$$= 2 k ^{2}$ $n$$= 2 k$일 때, $a _{n}$$= a _{2 k}$$\displaystyle = \frac{( 2 k ) ^{2}}{2} + 2 k + 1$$= 2 k ^{2} + 2 k + 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{5} a _{2 k - 1} + \sum\limits _{k=1} ^{5} a _{2 k}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{5} 2 k ^{2} + \sum\limits _{k=1} ^{5} ( 2 k ^{2} + 2 k + 1 )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{5} \left\{ 2 k ^{2} + ( 2 k ^{2} + 2 k + 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{5} ( 4 k ^{2} + 2 k + 1 )$ $\displaystyle = 4 \sum\limits _{k=1} ^{5} k ^{2} + 2 \sum\limits _{k=1} ^{5} k + \sum\limits _{k=1} ^{5} 1$ $\displaystyle = 4 \times \frac{5 \times 6 \times 11}{6} + 2 \times \frac{5 \times 6}{2} + 1 \times 5$ $= 255$