홀짝으로 갈리는 귀납적 수열

첫째항이 자연수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에서 $a _{6} + a _{7} = 3$이다. 자연수 $k$에 대하여 $a _{k + 1} = 1$이면 $2 ^{a _{k}} = 1$인 홀수 $a _{k}$는 존재하지 않는다. $a _{k + 1} = 1$일 때 $a _{k}$의 값이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{k}}{2} = 1$, $a _{k} = 2$ 따라서 자연수 $k$에 대하여 $a _{k + 1} = 1$이면 $a _{k} = 2$이다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항은 자연수이므로 $a _{6} = 1$, $a _{7} = 2$ 또는 $a _{6} = 2$, $a _{7} = 1$ (ⅰ) $a _{6} = 1$, $a _{7} = 2$일 때 $a _{5} = 2$ ($1$) $a _{4}$가 홀수일 때 $2 ^{a _{4}} = 2$에서 $a _{4} = 1$, $a _{3} = 2$ $( \mathrm{a} )$ $a _{2}$가 홀수일 때 $2 ^{a _{2}} = 2$에서 $a _{2} = 1$ $\therefore$ $a _{1} = 2$ $( \mathrm{b} )$ $a _{2}$가 짝수일 때 $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = 2$에서 $a _{2} = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $2 ^{a _{1}} = 4$인 홀수 $a _{1}$은 존재하지 않는다. $a _{1}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 4$ $\therefore$ $a _{1} = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ($2$) $a _{4}$가 짝수일 때 $\displaystyle \frac{a _{4}}{2} = 2$에서 $a _{4} = 4$ ㉡에서 $a _{2} = 4$일 때 $a _{1} = 8$이므로 같은 방법으로 하면 $a _{3}$의 값은 $a _{3} = 8$ $( \mathrm{a} )$ $a _{2}$가 홀수일 때 $2 ^{a _{2}} = 8$에서 $a _{2} = 3$ $2 ^{a _{1}} = 3$인 홀수 $a _{1}$은 존재하지 않는다. $a _{1}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 3$ $\therefore$ $a _{1} = 6$ $( \mathrm{b} )$ $a _{2}$가 짝수일 때 $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = 8$에서 $a _{2} = 16$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $2 ^{a _{1}} = 16$인 홀수 $a _{1}$은 존재하지 않는다. $a _{1}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 16$ $\therefore$ $a _{1} = 32$ (ⅱ) $a _{6} = 2$, $a _{7} = 1$일 때 ㉠에서 $a _{3} = 2$일 때 $a _{2} = 1$ 또는 $a _{2} = 4$이므로 같은 방법으로 하면 $a _{5}$의 값은 $a _{5} = 1$ 또는 $a _{5} = 4$ ($1$) $a _{5} = 1$일 때 $a _{4} = 2$ ㉠에서 $a _{3} = 2$일 때 $a _{2} = 1$ 또는 $a _{2} = 4$이므로 같은 방법으로 하면 $a _{3}$의 값은 $a _{3} = 1$ 또는 $a _{3} = 4$ $a _{3} = 1$이면 $a _{2} = 2$ ㉡에 의하여 $a _{3} = 4$이면 $a _{2} = 8$ $( \mathrm{a} )$ $a _{2} = 2$일 때 ㉠에 의하여 $a _{1} = 1$ 또는 $a _{1} = 4$ $( \mathrm{b} )$ $a _{2} = 8$일 때 ㉢에서 $a _{3} = 8$일 때 $a _{2} = 3$ 또는 $a _{2} = 16$이므로 같은 방법으로 하면 $a _{1} = 3$ 또는 $a _{1} = 16$ ($2$) $a _{5} = 4$일 때 ㉡에 의하여 $a _{4} = 8$ $a _{3}$이 홀수이면 $2 ^{a _{3}} = 8$에서 $a _{3} = 3$ $a _{3}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{3}}{2} = 8$에서 $a _{3} = 16$ $2 ^{a _{2}} = 3$ 또는 $2 ^{a _{2}} = 16$인 홀수 $a _{2}$는 존재하지 않는다. $a _{3} = 3$에서 $a _{2}$의 값이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = 3$에서 $a _{2} = 6$ $a _{3} = 16$에서 $a _{2}$의 값이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = 16$에서 $a _{2} = 32$ $( \mathrm{a} )$ $a _{2} = 6$일 때 $2 ^{a _{1}} = 6$인 홀수 $a _{1}$은 존재하지 않는다. $a _{1}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 6$ $\therefore$ $a _{1} = 12$ $( \mathrm{b} )$ $a _{2} = 32$일 때 $a _{1}$이 홀수이면 $2 ^{a _{1}} = 32$ $\therefore$ $a _{1} = 5$ $a _{1}$이 짝수이면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 32$ $\therefore$ $a _{1} = 64$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{1}$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $12$, $16$, $32$, $64$ 이다. 따라서 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $153$이다.