홀짝 점화식

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$라 하자. 자연수 $a$를 자연수 $k$에 대하여 나타내면 (ⅰ) $a = 4 k - 3$일 때 $a _{2} = 4 k - 2$, $a _{3} = 2 k - 1$, $a _{4} = 2 k$ $a _{2} + a _{4} = 40$이므로 $6 k - 2 = 40$, $k = 7$ $\therefore$ $a = 25$ (ⅱ) $a = 4 k - 2$일 때 $a _{2} = 2 k - 1$, $a _{3} = 2 k$, $a _{4} = k$ $a _{2} + a _{4} = 40$이므로 $3 k - 1 = 40$ $3 k - 1 = 40$인 자연수 $k$의 값은 존재하지 않는다. (ⅲ) $a = 4 k - 1$일 때 $a _{2} = 4 k$, $a _{3} = 2 k$, $a _{4} = k$ $a _{2} + a _{4} = 40$이므로 $5 k = 40$, $k = 8$ $\therefore$ $a = 31$ (ⅳ) $a = 4 k$일 때 $a _{2} = 2 k$, $a _{3} = k$ 자연수 $k$를 자연수 $m$에 대하여 나타내면 ($1$) $k = 2 m - 1$일 때 $a _{4} = 2 m = k + 1$ $a _{2} + a _{4} = 40$이므로 $3 k + 1 = 40$, $k = 13$ $\therefore$ $a = 52$ ($2$) $k = 2 m$일 때 $\displaystyle a _{4} = m = \frac{k}{2}$ $a _{2} + a _{4} = 40$이므로 $\displaystyle \frac{5}{2} k = 40$, $k = 16$ $\therefore$ $a = 64$ 이상에서 자연수 $a$의 값은 $25$, $31$, $52$, $64$ $a _{1}$의 값은 $25$, $31$, $52$, $64$이므로 합은 $172$이다.