대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

홀짝 점화 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1, a2=1a _{2} = 1이고 모든 자연수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) a2n+2−a2n=1a _{2 n + 2} - a _{2 n} = 1 (나) a2n+1−a2n−1=0a _{2 n + 1} - a _{2 n - 1} = 0

a100+a101a _{100} + a _{101}의 값을 구하시오. [3점]

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51

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 각 항을 구하면 다음과 같다. a3=a1=1a _{3} = a _{1} = 1, a5=a3a _{5} = a _{3}=1= 1, a7=a5a _{7} = a _{5}=1= 1, ⋯\cdots ∴\therefore a2n−1=1a _{2n-1} = 1 a4=a2+1=2a _{4} = a _{2} + 1 = 2, a6=a4+1=3a _{6} = a _{4} + 1 = 3, a8=a6+1=4a _{8} = a _{6} + 1 = 4, ⋯\cdots ∴\therefore a2n=na _{2 n} = n 따라서 a100+a101a _{100} + a _{101}=50+1=51= 50 + 1 = 51이다.

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