대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

홀짝 귀납 수열

문제

첫째항이 짝수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} a _{n} + 3 & \left( a _{n} \text{이} \text{홀수인} \text{경우} \right) \\ {\frac{a _{n}}{2} & \left( a _{n} \text{이} \text{짝수인} \text{경우} \right)} \end{cases}}$ 를 만족시킨다. $a _{5} = 5$ 일 때, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하시오. [4점]

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142

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해설

[출제의도] 수열의 규칙성을 추측하여 첫째항을 구하는 문제를 해결한다. $a _{1}$ 이 짝수이므로 $a _{1}$ $= 4 k$ 인 경우와 $a _{1}$ $= 4 k + 2$ 인 경우로 나누어 $a _{5} = 5$ 가 되는 정수 $k$ 의 값을 구하면 다음 표와 같다.

$a _{1}$	$4 k$			$4 k + 2$
$a _{2}$	$2 k$			$2 k + 1$
$a _{3}$	$k$			$2 k + 4$
$a _{4}$	$a _{3}$ 이 홀수	$a _{3}$ 이 짝수		$k + 2$
	$k + 3$	$\displaystyle \frac{k}{2}$
$a _{5}$	$\displaystyle \frac{k + 3}{2}$	$a _{4}$ 가 홀수	$a _{4}$ 가 짝수		$a _{4}$ 가 홀수	$a _{4}$ 가 짝수
		$\displaystyle \frac{k}{2} + 3$	$\displaystyle \frac{k}{4}$		$k + 5$	$\displaystyle \frac{k + 2}{2}$
$k$	$7$	$4$	$20$		$0$	$8$

$k = 4$ 인 경우 $a _{4}$ $\displaystyle = \frac{k}{2}$ 가 짝수이므로 $\displaystyle a _{5} \ne \frac{k}{2} + 3$ $k = 0$ 인 경우 $a _{4}$ $= k + 2$ 가 짝수이므로 $a _{5} \ne k + 5$ 그러므로 $k = 7$ 또는 $k = 20$ 또는 $k = 8$ $a _{1}$ 이 될 수 있는 수는 $28$ , $80$ , $34$ 따라서 구하는 값은 $28 + 34 + 80$ $= 142$

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