공통수학2원의 방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

회전하는 두 반지름 색칠

문제

두 점 $\mathrm{A} , B$ 를 지름의 양 끝으로 하고 반지름의 길이가 $10$ 인 원 $\mathrm{O}$ 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P} , Q$ 가 있다. 두 선분 $\mathrm{OP}$ , $\mathrm{OQ}$ 는 각각 선분 $\mathrm{OA}$ , $\mathrm{OB}$ 에서 동시에 출발하여 점 $\mathrm{O}$ 를 중심으로 시계 방향으로 회전한다. 각각 일정한 속도로 한 바퀴 도는 데 선분 $\mathrm{OP}$ 는 $30$ 초, $\mathrm{OQ}$ 는 $60$ 초 걸린다. 원의 내부가 처음에는 흰색이나, 두 선분 $\mathrm{OP}$ , $\mathrm{OQ}$ 가 회전하면서 지나간 부분은 흰색은 검은색으로, 검은색은 흰색으로 바뀐다.

두 선분 $\mathrm{OP}$ , $\mathrm{OQ}$ 가 출발한 지 $800$ 초 후의 검은색 부분의 넓이가 $\displaystyle \frac{q}{p} \pi$ ( $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수)일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 규칙성 찾기를 통한 수학 외적 문제 해결하기 선분 $\mathrm{OP} , OQ$ 가 출발한 지 $30$ 초, $60$ 초, $90$ 초, $120$ 초 후의 원의 내부는 각각 다음과 같다.

< $30$ 초 후>

< $60$ 초 후>

< $90$ 초 후>

< $120$ 초 후>

$120$ 초 후에는 다시 모두 흰색으로 바뀌므로 처음과 같다. 그러므로 $800$ 초 후 원의 내부는 $80$ 초 후와 같다.

$60 ^\circ$ $60 ^\circ$ < $80$ 초 후>

따라서, 검은색 부분의 넓이는 $\displaystyle 100 \pi \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{100}{3} \pi$ 이므로 $p = 3 , q = 100$ $\therefore p + q = 103$

태그

#부채꼴 넓이 #주기 #규칙

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