대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전한 정삼각형과 직선

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 원점 $\mathrm{O}$ , $x$ 축 위의 점 $\mathrm{A}$ , 제 $1$ 사분면 위의 점 $\mathrm{B}$ 를 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 $\mathrm{\mathrm{OAB}}$ 가 있다.

자연수 $n$ 에 대하여 정삼각형 $\mathrm{\mathrm{OAB}}$ 를 좌표평면에서 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 $\displaystyle \frac{n \pi}{3}$ 만큼 회전시킨 정삼각형과 직선 $y = nx$ 가 만나는 점의 개수를 $a _{n}$ 이라 하자. 이때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{100} a _{n}$ 의 값은? [4점] ① $133$ ② $135$ ③ $137$ ④ $139$ ⑤ $141$

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①

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 직선 $y = nx$ 는 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나므로 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 와 항상 이상의 점에서 만난다. $a _{1} = 1$ , $a _{2} = 1$ , $a _{3} = 1$ $n \geq 4$ 일 때, $\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 1 & ( n \ne 3 k + 1 ) \\ 2 & ( n = 3 k + 1 ) \end{cases}}$ ( $k$ 는 자연수) 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{100} a _{n} = 1 + 33 \times 4 = 133$

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