회전닮음변환 넓이

$\displaystyle \begin{pmatrix} {\frac{\sqrt{6}}{4}} & {- \frac{\sqrt{2}}{4}} \\ {\frac{\sqrt{2}}{4}} & {\frac{\sqrt{6}}{4}} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {- \frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{\sqrt{2}}{2}} & {0} \\ {0} & {\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\cos \frac{\pi}{6}} & {- \sin \frac{\pi}{6}} \\ {\sin \frac{\pi}{6}} & {\cos \frac{\pi}{6}} \end{pmatrix}$ 이므로 일차변환 $f$는 원점을 중심으로 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$만큼 회전하는 회전이동과 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$인 닮음변환의 합성변환이다. 따라서 도형 $E _{1}$은 다음 그림과 같다.

∴ $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right) ^{2} \frac{\pi}{6} = \frac{3}{8} \pi$ 도형 $E _{2}$는 도형 $E _{1}$이 변환 $f$에 의해서 옮겨진 것이므로 도형 $E _{2}$의 넓이는 도형 $E _{1}$의 넓이의 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = \frac{1}{2}$배이다. ∴ $\displaystyle S _{2} = \frac{3}{16} \pi$ ∴ $S _{1} + S _{2}$$\displaystyle = \frac{9}{16} \pi$ [참고] 도형 $E _{2}$는 다음 그림과 같다.

[참고] $\displaystyle \begin{pmatrix} {a} & {- b} \\ {b} & {a} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} \begin{pmatrix} {\frac{a}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}} & {- \frac{b}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}} \\ {\frac{b}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}} & {\frac{a}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}} \end{pmatrix}$ 이고 $\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} \right) ^{2} + \left( \frac{b}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} \right) ^{2} = 1$이므로 $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} = \cos \theta$, $\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} = \sin \theta$라 하면 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a} & {- b} \\ {b} & {a} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} & {0} \\ {0} & {{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}} \end{pmatrix}$$\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos \theta} & {- \sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta} \end{pmatrix}$ 이 성립한다. 따라서 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a} & {- b} \\ {b} & {a} \end{pmatrix}$로 나타내어지는 일차변환은 회전변환과 닮음변환의 합성변환이다.