미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전체 수조의 수면 상승속도

문제

곡선 $y = x ^{2}$ 을 $y$ 축 둘레로 회전시켜 얻어지는 입체에 매초 $2 cm ^{3}$ 의 비율로 물을 넣을 때, $4$ 초 후의 수면의 상승속도는? (단, 좌표축의 단위 길이는 $cm$ 임) ① $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} ( cm / \sec )$ ② $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi}} ( cm / \sec )$ ③ $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} ( cm / \sec )$ ④ $\displaystyle \sqrt{\pi} ( cm / \sec )$ ⑤ $\displaystyle 2 \sqrt{\pi} ( cm / \sec )$

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①

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해설

바닥에서 수면까지의 깊이를 $h$ 라 하면 회전체의 부피 $V$ 는 $\displaystyle V = \int _{0} ^{h} {\pi x ^{2} dy}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{h} {\pi y dy}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \pi h ^{2} \cdots$ (1) 식 (1)을 시간 $t$ 에 관하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 2 = \pi h \frac{dh}{dt} \cdots$ (2) $4$ 초 후에 용기에 있는 물의 양은 $8 cm ^{3}$ 이므로 깊이 $h$ 는 식 (1)로부터 $\displaystyle V _{t=4} = 2 \times 4 = \frac{1}{2} \pi h ^{2}$ $\displaystyle \therefore h = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$ 따라서, 수면의 상승속도는 $\displaystyle \therefore \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}$

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