미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

회전체 부피

문제

곡선 y=ex−1y = e ^{x} - 1과 xx축 및 직선 x=1x = 1로 둘러싸인 도형을 xx축 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피가 π2(e2+ae+b)\displaystyle \frac{\pi}{2} ( e ^{2} + ae + b )이다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 정수이다.) [3점]

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해설

π∫01(ex−1)2dx=π∫01(e2x−2ex+1)dx\displaystyle \pi \int _{0} ^{1} {( e ^{x} - 1 ) ^{2} dx} = \pi \int _{0} ^{1} {( e ^{2 x} - 2 e ^{x} + 1 ) dx} =π[e2x2−2ex+x]01\displaystyle = \pi \left[ \frac{e ^{2 x}}{2} - 2 e ^{x} + x \right] _{0} ^{1}=π2(e2−4e+5)\displaystyle = \frac{\pi}{2} ( e ^{2} - 4 e + 5 ) a=−4,b=5a = - 4 , b = 5에서 a2+b2=41a ^{2} + b ^{2} = 41

태그

#회전체의 부피#지수함수 적분

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