회전변환과 쌍곡선의 초점

[출제의도] 회전변환에 의하여 옮겨진 직선의 방정식을 구할 수 있는가? 쌍곡선 $\displaystyle x ^{2} - 2 y ^{2} = 1 , x ^{2} - \frac{y ^{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \text{에서}$ $\displaystyle c ^{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \therefore c = - \frac{\sqrt{6}}{2} ( \because c < 0 )$ $\displaystyle \therefore F \left( - \frac{\sqrt{6}}{2} , 0 \right)$ 직선 $l$위에 있는 점 $( x , y )$가 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전한 회전변환에 의하여 옮겨진 점을 $( x' , y' )$이라 하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$ 이므로$\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}}$ $\therefore x = \cos \theta \cdot x' + \sin \theta \cdot y'$ $y = - \sin \theta \cdot x' + \cos \theta \cdot y'$ 이 식을 직선 $l$의 방정식 $x - y - 1 = 0$ 에 대입하면 $( \cos \theta x' + \sin \theta y' ) - ( - \sin \theta x' + \cos \theta y' ) - 1 = 0$ $( \cos \theta + \sin \theta ) x' + ( \sin \theta - \cos \theta ) y' - 1 = 0$ ⋯⋯㉠ 이때 직선 ㉠이 쌍곡선의 초점 $\displaystyle F \left( - \frac{\sqrt{6}}{2} , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle ( \cos \theta + \sin \theta ) ( - \frac{\sqrt{6}}{2} ) - 1 = 0$ $\displaystyle \therefore \sin \theta + \cos \theta = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ⋯⋯㉡ ㉡의 양변을 제곱하면 $\displaystyle ( \sin \theta + \cos \theta ) ^{2} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2 \theta = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \therefore \sin 2 \theta = - \frac{1}{3}$