공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전변환과 직선

문제

좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 ff에 의하여 직선 y=x+1y = x + 1이 직선 y=2x+ky = 2 x + k로 옮겨질 때, k2k ^{2}의 값은? (단, kk는 상수이다.) [3점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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①

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해설

[출제의도] 회전변환 이해하기 직선 y=x+1y = x + 1 위의 점 (x,y)( x , y )가 행렬 (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\displaystyle \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}로 나타내어지는 일차변환 ff에 의하여 직선 y=2x+ky = 2 x + k 위의 점 (x′,y′)( x' , y' )으로 옮겨진다고 하면 (x′y′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy)\displaystyle {\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} (xy)=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(x′y′)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}} x=x′cos⁡θ+y′sin⁡θx = x' \cos \theta + y' \sin \theta … ㉠ y=−x′sin⁡θ+y′cos⁡θy = - x' \sin \theta + y' \cos \theta … ㉡ y=x+1y = x + 1에 ㉠, ㉡를 대입하여 정리하면 −x′sin⁡θ+y′cos⁡θ=x′cos⁡θ+y′sin⁡θ+1- x' \sin \theta + y' \cos \theta = x' \cos \theta + y' \sin \theta + 1 (cos⁡θ−sin⁡θ)y′=(cos⁡θ+sin⁡θ)x′+1( \cos \theta - \sin \theta ) y' = ( \cos \theta + \sin \theta ) x' + 1 y=2x+ky = 2 x + k와 일치하므로 cos⁡θ−sin⁡θ1=cos⁡θ+sin⁡θ2=1k\displaystyle \frac{\cos \theta - \sin \theta}{1} = \frac{\cos \theta + \sin \theta}{2} = \frac{1}{k} 3sin⁡θ=cos⁡θ3 \sin \theta = \cos \theta tan⁡θ=13\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{3}, k=12sin⁡θ\displaystyle k = \frac{1}{2 \sin \theta} 따라서 k2=14sin⁡2θ=52\displaystyle k ^{2} = \frac{1}{4 \sin ^{2} \theta} = \frac{5}{2}

태그

#회전변환#직선

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