공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

회전변환 점 좌표

문제

좌표평면 위에서 원점을 중심으로 하여 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}만큼 회전시키는 회전변환에 의하여 점A\mathrm{A}가 옮겨지는 점을B\mathrm{B}라 하고, 원점을 중심으로 하여 −712π\displaystyle - \frac{7}{12} \pi만큼 회전시키는 회전변환에 의하여 점B\mathrm{B}가 옮겨지는 점을C\mathrm{C}라 하자. 점B\mathrm{B}의 xx좌표가 −1- 1이고, 점C\mathrm{C}는 xx축 위의 점일 때, 점A\mathrm{A}의 xx좌표와 yy좌표의 곱은? [3점] ①2−23\displaystyle 2 - 2 \sqrt{3}②4−23\displaystyle 4 - 2 \sqrt{3}③23−1\displaystyle 2 \sqrt{3} - 1④2+23\displaystyle 2 + 2 \sqrt{3}⑤4+23\displaystyle 4 + 2 \sqrt{3}

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⑤

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해설

점 A\mathrm{A}(a,b)( a , b )라 하면 (cos⁡π3−sin⁡π3sin⁡π3cos⁡π3)(ab)\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos \frac{\pi}{3}} & {- \sin \frac{\pi}{3}} \\ {\sin \frac{\pi}{3}} & {\cos \frac{\pi}{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a} \\ {b} \end{pmatrix}=(12a−32b32a+12b)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} b} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{1}{2} b} \end{pmatrix} 에서 점 B\mathrm{B}의 좌표는 12a−32b=−1\displaystyle \frac{1}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} b = - 1 ⋯⋯ ㉠ 점 B\mathrm{B}를 −712π=−(π3+π4)\displaystyle - \frac{7}{12} \pi = - \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right)만큼 회전이동시키는 것은 점 A\mathrm{A}를 −π4\displaystyle - \frac{\pi}{4}만큼 회전이동시키는 것과 같으므로 (cos⁡(−π4)−sin⁡(−π4)sin⁡(−π4)cos⁡(−π4))(ab)\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos \left( - \frac{\pi}{4} \right)} & {- \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right)} \\ {\sin \left( - \frac{\pi}{4} \right)} & {\cos \left( - \frac{\pi}{4} \right)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a} \\ {b} \end{pmatrix} 에서 점 C\mathrm{C}의 yy좌표는 −22a+22b=0\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2} a + \frac{\sqrt{2}}{2} b = 0 ⋯⋯ ㉡ ㉡에서 a=ba = b이고 이것을 ㉠에 대입하면 12a−32a=−1\displaystyle \frac{1}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} a = - 1에서 a=23−1\displaystyle a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}=3+1\displaystyle = \sqrt{3} + 1 ∴ ab=a2=(3+1)2=4+23\displaystyle ab = a ^{2} = ( \sqrt{3} + 1 ) ^{2} = 4 + 2 \sqrt{3}

태그

#회전변환

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