회전·닮음변환 외접

원 $C _{1}$는 중심이 $( 5 , 0 )$이고 반지름이 $4$인 원이다. 따라서 회전변환 $f$에 의하여 원 $C _{1}$는 중심이 $( 0 , 5 )$이고 반지름이 $4$인 원으로 이동한다. 또한 이 원은 닮음변환 $g$에 의하여 중심이 $( 0 , 5 k )$이고 반지름이 $4 k$인 원으로 이동한다. 따라서 $C _{2}$는 중심이 $( 0 , 5 k )$이고 반지름이 $4 k$인 원이다.

두 원 $C _{1}$, $C _{2}$가 외접할 때, 두 원의 중심사이의 거리는 반지름의 길이의 합이므로 $\displaystyle \sqrt{5 ^{2} + ( 5 k ) ^{2}} = 4 + 4 k$ 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $9 k ^{2} - 32 k + 9 = 0$ 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 위 방정식을 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{32}{9}$이다. [다른 풀이] 변환 $f$, $g$를 나타내는 행렬은 각각 $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {- 1} \\ {1} & {0} \end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix} {k} & {0} \\ {0} & {k} \end{pmatrix}$이므로 변환 $g \circ f$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {- k} \\ {k} & {0} \end{pmatrix}$이다. 원 $C _{1}$ 위의 점 $( x , y )$이 변환 $g \circ f$에 의하여 이동한 점을 $( x' , y' )$이라 하면 $\displaystyle \begin{pmatrix} {x'} \\ {y'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} & {- k} \\ {k} & {0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix}$ 이 성립한다. ∴ $\displaystyle \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} {0} & {- k} \\ {k} & {0} \end{pmatrix}} ^{-1} \begin{pmatrix} {x'} \\ {y'} \end{pmatrix}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} {0} & {\frac{1}{k}} \\ {- \frac{1}{k}} & {0} \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} {x'} \\ {y'} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{y'}{k}} \\ {- \frac{x'}{k}} \end{pmatrix}$ 점 $( x , y )$는 원 $C _{1}$:$( x - 5 ) ^{2} + y ^{2} = 16$ 위에 있으므로 $\displaystyle \left( \frac{y'}{k} - 5 \right) ^{2} + \left( - \frac{x'}{k} \right) ^{2} = 16$ $( x' ) ^{2} + ( y' - 5 k ) ^{2} = 16 k ^{2}$ 따라서 원 $C _{2}$의 방정식은 $x ^{2} + ( y - 5 k ) ^{2} = ( 4 k ) ^{2}$이다. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$가 외접할 때, 두 원의 중심사이의 거리는 반지름의 길이의 합이므로 $\displaystyle \sqrt{5 ^{2} + ( 5 k ) ^{2}} = 4 + 4 k$ 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $9 k ^{2} - 32 k + 9 = 0$ 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 위 방정식을 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{32}{9}$이다.