공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전·닮음변환

문제

좌표평면에서 두 일차변환 ff와 gg를 나타내는 행렬이 각각 (k00k)\displaystyle {\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}}, (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\displaystyle {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} 일 때, 일차변환 (f∘g)−1\left( f \circ g \right) ^{- 1}에 의하여 점 (5,53)\displaystyle \left( 5 , 5 \sqrt{3} \right)이 점 (3,1)\displaystyle \left( \sqrt{3} , 1 \right)로 옮겨진다. 이때, 두 상수 kk와 θ\theta에 대하여 kπθ\displaystyle \frac{k \pi}{\theta}의 값을 구하시오.(단, k>0k > 0이고, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이다.) [4점]

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30

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해설

[출제의도] 일차변환을 나타내는 행렬 이해하기 일차변환 (f∘g)−1\left( f \circ g \right) ^{- 1}의 역변환이 f∘gf \circ g이므로 일차변환 f∘gf \circ g에 의하여 점 (3,1)\displaystyle \left( \sqrt{3} , 1 \right)이 점 (5,53)\displaystyle \left( 5 , 5 \sqrt{3} \right)으로 옮겨진다. (553)=(k00k)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(31)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 5 \\ 5 \sqrt{3} \end{matrix} \end{array} \right) = {\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) 점 (3,1)\displaystyle \left( \sqrt{3} , 1 \right)을 원점을 중심으로 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}만큼 회전변환시킨 점을 다시 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 k=5k = 5인 닮음변환에 의하여 옮긴 점이 (5,53)\displaystyle \left( 5 , 5 \sqrt{3} \right)이다. 따라서 kπθ=30\displaystyle \frac{k \pi}{\theta} = 30

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